微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{1}{2}} - y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- y$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

ステップ 1.1.2.3

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

ステップ 1.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 1.3

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 1.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 1.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

ステップ 1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

ステップ 1.3.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

ステップ 2

$y^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

ステップ 3

${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

ステップ 3.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

ステップ 3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 4.2

$y^{- \frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 4.3

負をくくり出します。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

ステップ 4.6

$1$ から $3$ を引きます。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

ステップ 4.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

ステップ 4.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

ステップ 4.7.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

ステップ 4.7.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

ステップ 4.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

ステップ 4.8

$y^{- \frac{3}{2}}$ と $- y^{- 1}$ を並べ替えます。

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 7

$y^{- 1}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

ステップ 8

べき乗則では、 $y^{- \frac{3}{2}}$ の $y$ に関する積分は $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$4$ および $1$ で $\ln (| y |)$ の値を求めます。

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 9.1.2

$4$ および $1$ で $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.4.2

式を書き換えます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.5

指数を求めます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.6

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.1.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

ステップ 9.1.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

ステップ 9.1.3.10

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

ステップ 9.3.3

$4$ を $1$ で割ります。

$- \ln (4) + 1$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \ln (4) + 1$

10進法形式：

$- 0.38629436 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例