微分積分例

$y = {(1 - x)}^{2} \sinh (2 x)$

ステップ 1

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x) \sinh (2 x)]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(1 (1 - x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - x (- x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

ステップ 3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [(1 - 2 x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

ステップ 4

$f (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ および $g (x) = \sinh (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 5

$f (x) = \sinh (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$(1 - 2 x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 5.2

$u$ に関する $\sinh (u)$ の微分係数は $\cosh (u)$ です。

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) \cdot 2 + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 6.3.2

$2$ を $(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

ステップ 6.4

総和則では、 $1 - 2 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

ステップ 7.4

項をまとめます。

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ステップ 7.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

ステップ 7.4.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

ステップ 7.4.3

$- 2$ を $\sinh (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) + \sinh (2 x) (2 x)$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$- 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + 2 x \sinh (2 x) + 2 \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x)$

微分積分 例

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