微分積分例

$\int \frac{1}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{5 x - 3}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(5 x - 3) (3 - 4 x)$ です。

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.4

$5 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (5 x - 3) (3 - 4 x)}{(5 x - 3) (3 - 4 x)} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.5

$3 - 4 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

$5 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (5 x - 3) (3 - 4 x)}{5 x - 3} + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6.1.2

$(A) (3 - 4 x)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (3 - 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 3 + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = 3 \cdot A + A (- 4 x) + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 3 \cdot A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6.5

$3 - 4 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = 3 A - 4 A x + \frac{(B) (5 x - 3) (3 - 4 x)}{3 - 4 x}$

ステップ 1.1.6.5.2

$(B) (5 x - 3)$ を $1$ で割ります。

$1 = 3 A - 4 A x + (B) (5 x - 3)$

ステップ 1.1.6.6

分配則を当てはめます。

$1 = 3 A - 4 A x + B (5 x) + B \cdot - 3$

ステップ 1.1.6.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x + B \cdot - 3$

ステップ 1.1.6.8

$- 3$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = 3 A - 4 A x + 5 B x - 3 B$

ステップ 1.1.7

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$A$ を移動させます。

$1 = 3 A - 4 x A + 5 B x - 3 B$

ステップ 1.1.7.2

$B$ を移動させます。

$1 = 3 A - 4 x A + 5 x B - 3 B$

ステップ 1.1.7.3

$3 A$ を移動させます。

$1 = - 4 x A + 5 x B + 3 A - 3 B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 4 A + 5 B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

$0 = - 4 A + 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$0 = - 4 A + 5 B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $- 4 A + 5 B = 0$ として書き換えます。

$- 4 A + 5 B = 0$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $5 B$ を引きます。

$- 4 A = - 5 B$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3.1.3

$- 4 A = - 5 B$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

$- 4 A = - 5 B$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3.1.3.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{- 5 B}{- 4}$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = 3 A - 3 B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{5 B}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1 = 3 A - 3 B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{5 B}{4}$ で置き換えます。

$1 = 3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$3 (\frac{5 B}{4}) - 3 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

$3 (\frac{5 B}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1.1

$3$ と $\frac{5 B}{4}$ をまとめます。

$1 = \frac{3 (5 B)}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.1.2

$5$ に $3$ をかけます。

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$- 3 B$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$1 = \frac{15 B}{4} - 3 B \cdot \frac{4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.3.1

$- 3 B$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$1 = \frac{15 B}{4} + \frac{- 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{15 B - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.4.1

$3 B$ を $15 B - 3 B \cdot 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.4.1.1

$3 B$ を $15 B$ で因数分解します。

$1 = \frac{3 B (5) - 3 B \cdot 4}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.4.1.2

$3 B$ を $- 3 B \cdot 4$ で因数分解します。

$1 = \frac{3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.4.1.3

$3 B$ を $3 B (5) + 3 B (- 1 \cdot 4)$ で因数分解します。

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B (5 - 1 \cdot 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.4.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$1 = \frac{3 B (5 - 4)}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.4.3

$5$ から $4$ を引きます。

$1 = \frac{3 B \cdot 1}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.2.2.1.4.4

$3$ に $1$ をかけます。

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$1 = \frac{3 B}{4}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3

$1 = \frac{3 B}{4}$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $\frac{3 B}{4} = 1$ として書き換えます。

$\frac{3 B}{4} = 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺に $\frac{4}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1.1

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 B}{4} = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1.1.2.1

$3$ を $3 B$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot (3 (B)) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot (3 B) = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3} \cdot 1$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5 B}{4}$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{4}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$A = \frac{5 B}{4}$ の $B$ のすべての発生を $\frac{4}{3}$ で置き換えます。

$A = \frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$\frac{5 (\frac{4}{3})}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$5$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$A = \frac{\frac{5 \cdot 4}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$5$ に $4$ をかけます。

$A = \frac{\frac{20}{3}}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$A = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$A = \frac{4 (5)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$A = \frac{4 \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.4.2.1.4.3

式を書き換えます。

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{4}{3}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{5 x - 3} + \frac{B}{3 - 4 x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{5}{3}}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5 x - 3} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

ステップ 1.5.2

$\frac{5}{3}$ に $\frac{1}{5 x - 3}$ をかけます。

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{\frac{4}{3}}{3 - 4 x}$

ステップ 1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3 - 4 x}$

ステップ 1.5.4

$\frac{4}{3}$ に $\frac{1}{3 - 4 x}$ をかけます。

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} + \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{5}{3 (5 x - 3)} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 3

$\frac{5}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{5}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 x - 3} d x + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 4

$u_{1} = 5 x - 3$ とします。次に $d u_{1} = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{1} = 5 x - 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$5 x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x - 3]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $5 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 5.2

$5$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\frac{5}{3} \int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{5}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{3} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{5}{3}$ をかけます。

$\frac{5}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 7.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{5}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 7.3

$5$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (1)}{15} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 7.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{4}{3 (3 - 4 x)} d x$

ステップ 9

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{4}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{3 - 4 x} d x$

ステップ 10

$u_{2} = 3 - 4 x$ とします。次に $d u_{2} = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = 3 - 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$3 - 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

ステップ 10.1.2

微分します。

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ステップ 10.1.2.1

総和則では、 $3 - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 10.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 10.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 10.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 4 \cdot 1$

ステップ 10.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$0 - 4$

ステップ 10.1.4

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{2}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

ステップ 11.3

$4$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} \int - \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2})$

ステップ 13

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{3} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14.3

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 15

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 16

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 - 4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| 5 x - 3 |) - \frac{1}{3} \ln (| 3 - 4 x |) + C$

微分積分 例

微分積分例