微分積分例

$f (x) = x^{3} + 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x)$

ステップ 2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 4.1.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2}$ です。

$3 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$3 x^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3 x^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (0)$

ステップ 9

$6$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $3 x^{2}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 3 \cdot 4$

ステップ 10.2.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 12$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 10.3

一次導関数 $3 x^{2}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 3 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 3 \cdot 4$

ステップ 10.3.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 12$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 10.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = x^{3} + 1$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

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