微分積分例

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

ステップ 1

$u = 3 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 1.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.2

$- \frac{u}{2}$ と $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ をまとめます。

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.3

$u$ を $1$ 乗します。

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.6

公分母の分子をまとめます。

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.7

$3$ と $1$ をたし算します。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.8

$2$ に $2$ をかけます。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 5.9

$\frac{3}{2}$ に $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ をかけます。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

ステップ 5.10

$2$ に $2$ をかけます。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

ステップ 5.11

$- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ と $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ を並べ替えます。

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

ステップ 7

$\frac{3}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

ステップ 9

$\frac{3}{4}$ と $u^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

ステップ 10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{\frac{4}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ です。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{3}{7}$ と $u^{\frac{7}{3}}$ をまとめます。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

ステップ 13.2

簡約します。

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $3 - 2 x$ で置き換えます。

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

$\frac{9}{16}$ と ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

ステップ 16.1.2

${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ と $\frac{3}{28}$ をまとめます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

ステップ 16.1.3

$3$ を ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ の左に移動させます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

ステップ 16.2

$\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

ステップ 16.3

$- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

ステップ 16.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $112$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 16.4.1

$\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

ステップ 16.4.2

$16$ に $7$ をかけます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

ステップ 16.4.3

$\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

ステップ 16.4.4

$28$ に $4$ をかけます。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

ステップ 16.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

ステップ 16.6

分子を簡約します。

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ステップ 16.6.1

$7$ に $9$ をかけます。

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

ステップ 16.6.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

微分積分 例

微分積分例