微分積分例

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

ステップ 1

$x^{2} + 1$ を $x^{2} - x$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 1.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - x + 0$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

ステップ 4.1.1.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

ステップ 4.1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 4.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x - 1)$ です。

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.5.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6.1.2

$A (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.6.5.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

ステップ 4.1.7

$- A$ を移動させます。

$x + 1 = A x + B x - A$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A$

ステップ 4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

$1 = - 1 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 4.3.1.1

方程式を $- 1 A = 1$ として書き換えます。

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.1.2

$- 1 A = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1.2.1

$- 1 A = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.1.2.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

括弧を削除します。

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

ステップ 4.3.3

$1 = - 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式を $- 1 + B = 1$ として書き換えます。

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

ステップ 4.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

ステップ 4.3.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

ステップ 4.3.4

連立方程式を解きます。

$B = 2 A = - 1$

ステップ 4.3.5

すべての解をまとめます。

$B = 2, A = - 1$

ステップ 4.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 9

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 9.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

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