微分積分例

$\sin (x) + e^{- x} + 3 x$

ステップ 1

総和則では、 $\sin (x) + e^{- x} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\cos (x) + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\cos (x) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (x) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x) + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\cos (x) - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\cos (x) - e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \cdot 1$

ステップ 4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) - e^{- x} + 3$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$3 - e^{- x} + \cos (x)$

微分積分 例

微分積分例