微分積分例

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{27}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = 9 x^{2} + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x^{2} + 6$ とします。

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $9 x^{2} + 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.7

$\frac{3}{2}$ と ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

ステップ 3.8

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{27}$ をかけます。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

ステップ 3.9

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

ステップ 3.10

$3$ を $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

ステップ 3.11

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

ステップ 3.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

ステップ 3.11.3

式を書き換えます。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

ステップ 3.12

総和則では、 $9 x^{2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.13

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.15

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.16

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

ステップ 3.17

項を簡約します。

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ステップ 3.17.1

$18 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

ステップ 3.17.2

$18$ と $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ をまとめます。

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

ステップ 3.17.3

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

ステップ 3.17.4

共通因数を約分します。

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

ステップ 3.17.5

式を簡約します。

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ステップ 3.17.5.1

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ を $1$ で割ります。

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

ステップ 3.17.5.2

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

微分積分例