微分積分例

$\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$

ステップ 1

$\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{6} x^{6}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.3

$6$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{6}{6}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{3} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$\frac{5}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{3} x^{4}$ の微分係数は $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{3} (4 x^{3})$

ステップ 2.1.4.3

$4$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 5}{3} x^{3}$

ステップ 2.1.4.4

$4$ に $5$ をかけます。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20}{3} x^{3}$

ステップ 2.1.4.5

$\frac{20}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20 x^{3}}{3}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20 x^{3}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$\frac{20}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{20 x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{20}{3} (3 x^{2})$

ステップ 2.2.3.3

$3$ と $\frac{20}{3}$ をまとめます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 20}{3} x^{2}$

ステップ 2.2.3.4

$3$ に $20$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{60}{3} x^{2}$

ステップ 2.2.3.5

$\frac{60}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{60 x^{2}}{3}$

ステップ 2.2.3.6

$60$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.6.1

$3$ を $60 x^{2}$ で因数分解します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (20 x^{2})}{3}$

ステップ 2.2.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)}$

ステップ 2.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 2.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{20 x^{2}}{1}$

ステップ 2.2.3.6.2.4

$20 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$ です。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5 x^{2}$ を $5 x^{4} + 20 x^{3} + 20 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$5 x^{2}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 20 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$5 x^{2}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 20 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.3

$5 x^{2}$ を $20 x^{2}$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (4) = 0$

ステップ 3.2.1.4

$5 x^{2}$ を $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (4) = 0$

ステップ 3.2.1.5

$5 x^{2}$ を $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (4)$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$5 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.6

最終解は $5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{6}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.5

$\frac{5}{3}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 2$ を $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{6} + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 2$ を $6$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- 2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$2$ を $64$ で因数分解します。

$f (- 2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (- 2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $32$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{32}{3} + {(- 2)}^{5} + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 2$ を $5$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{5}{3} \cdot 16$

ステップ 4.3.2.1.6

$\frac{5}{3} \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1

$\frac{5}{3}$ と $16$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{5 \cdot 16}{3}$

ステップ 4.3.2.1.6.2

$5$ に $16$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{32}{3} - 32 + \frac{80}{3}$

ステップ 4.3.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = - 32 + \frac{32 + 80}{3}$

ステップ 4.3.2.2.2

$32$ と $80$ をたし算します。

$f (- 2) = - 32 + \frac{112}{3}$

ステップ 4.3.2.3

$- 32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- 2) = - 32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{112}{3}$

ステップ 4.3.2.4

$- 32$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{112}{3}$

ステップ 4.3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- 2) = \frac{- 32 \cdot 3 + 112}{3}$

ステップ 4.3.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

$- 32$ に $3$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{- 96 + 112}{3}$

ステップ 4.3.2.6.2

$- 96$ と $112$ をたし算します。

$f (- 2) = \frac{16}{3}$

ステップ 4.3.2.7

最終的な答えは $\frac{16}{3}$ です。

$\frac{16}{3}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{3} x^{4}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, \frac{16}{3})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, \frac{16}{3})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{3})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 20 {(- 2.1)}^{3} + 20 {(- 2.1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(- 2.1)}^{3} + 20 {(- 2.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$5$ に $19.4481$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 97.2405 + 20 {(- 2.1)}^{3} + 20 {(- 2.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 2.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 97.2405 + 20 \cdot - 9.261 + 20 {(- 2.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$20$ に $- 9.261$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 97.2405 - 185.22 + 20 {(- 2.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 97.2405 - 185.22 + 20 \cdot 4.41$

ステップ 6.2.1.6

$20$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 97.2405 - 185.22 + 88.2$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$97.2405$ から $185.22$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = - 87.9795 + 88.2$

ステップ 6.2.2.2

$- 87.9795$ と $88.2$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = 0.2205$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.2205$ です。

$0.2205$

ステップ 6.3

$- 2.1$ で二次導関数は $0.2205$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 20 {(- 1)}^{3} + 20 {(- 1)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1) = 5 \cdot 1 + 20 {(- 1)}^{3} + 20 {(- 1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$5$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 5 + 20 {(- 1)}^{3} + 20 {(- 1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1) = 5 + 20 \cdot - 1 + 20 {(- 1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$20$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 5 - 20 + 20 {(- 1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = 5 - 20 + 20 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.6

$20$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 5 - 20 + 20$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$5$ から $20$ を引きます。

$f'' (- 1) = - 15 + 20$

ステップ 7.2.2.2

$- 15$ と $20$ をたし算します。

$f'' (- 1) = 5$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 7.3

$- 1$ で二次導関数は $5$ です。これは正の値なので、 $(- 2, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 5 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 20 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.1) = 5 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 20 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$5$ に $0.0001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.0005 + 20 {(0.1)}^{3} + 20 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.0005 + 20 \cdot 0.001 + 20 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.4

$20$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.0005 + 0.02 + 20 {(0.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.5

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.0005 + 0.02 + 20 \cdot 0.01$

ステップ 8.2.1.6

$20$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.0005 + 0.02 + 0.2$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$0.0005$ と $0.02$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.0205 + 0.2$

ステップ 8.2.2.2

$0.0205$ と $0.2$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.2205$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.2205$ です。

$0.2205$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $0.2205$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。この条件を満たす点は、グラフ上に存在しません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例