微分積分例

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

ステップ 1

$f (y) = y$ および $g (y) = y^{2} + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$y^{2} + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $y^{2} + x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + 0)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y \cdot y}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 7

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例