微分積分例

$f (x) = 12 x - x^{3}$ , $[0, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $12 x - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 - (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$12 - 3 x^{2}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 12$ です。

$- 3 x^{2} + 12$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 12 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$- 3 x^{2} = - 12$

ステップ 1.2.3

$- 3 x^{2} = - 12$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 3 x^{2} = - 12$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 12}{- 3}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 12$ を $- 3$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 1.2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $12 x - x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$12 (2) - {(2)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$12$ に $2$ をかけます。

$24 - {(2)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$24 - 1 \cdot 8$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$24 - 8$

ステップ 1.4.1.2.2

$24$ から $8$ を引きます。

$16$

ステップ 1.4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$12 (- 2) - {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$12$ に $- 2$ をかけます。

$- 24 - {(- 2)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 24 - - 8$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$- 24 + 8$

ステップ 1.4.2.2.2

$- 24$ と $8$ をたし算します。

$- 16$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, 16), (- 2, - 16)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(2, 16)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$12 (0) - {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 0$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 3.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$12 (3) - {(3)}^{3}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$12$ に $3$ をかけます。

$36 - {(3)}^{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$36 - 1 \cdot 27$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 1$ に $27$ をかけます。

$36 - 27$

ステップ 3.2.2.2

$36$ から $27$ を引きます。

$9$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (3, 9)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(2, 16)$

最小値： $(0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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