微分積分例

$e^{x y} = y - x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (y - x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 2.2

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$e^{x y} (x + y x')$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $y - x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x]$ です。

$1 - \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$1 - x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 1 - x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 1 - x'$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $x'$ を足します。

$x e^{x y} + y x' e^{x y} + x' = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $x e^{x y}$ を引きます。

$y x' e^{x y} + x' = 1 - x e^{x y}$

ステップ 5.4

$x'$ を $y x' e^{x y} + x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$x'$ を $y x' e^{x y}$ で因数分解します。

$x' (y e^{x y}) + x' = 1 - x e^{x y}$

ステップ 5.4.2

$x'$ を $1$ 乗します。

$x' (y e^{x y}) + x' = 1 - x e^{x y}$

ステップ 5.4.3

$x'$ を ${x'}^{1}$ で因数分解します。

$x' (y e^{x y}) + x' \cdot 1 = 1 - x e^{x y}$

ステップ 5.4.4

$x'$ を $x' (y e^{x y}) + x' \cdot 1$ で因数分解します。

$x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$

ステップ 5.5

$x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$ の各項を $y e^{x y} + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$x' (y e^{x y} + 1) = 1 - x e^{x y}$ の各項を $y e^{x y} + 1$ で割ります。

$\frac{x' (y e^{x y} + 1)}{y e^{x y} + 1} = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$y e^{x y} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (y e^{x y} + 1)}{y e^{x y} + 1} = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{y e^{x y} + 1} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{1 - x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - x e^{x y}}{y e^{x y} + 1}$

微分積分 例

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