微分積分例

$y = \frac{2}{\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}$ を ${(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}$ に書き換えます。

$y = \frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ を ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{1}{6}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{6}}]$

ステップ 4.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ および $g (x) = 5 x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} - 1$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.2.2

$n = - \frac{1}{6}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} - 1$ で置き換えます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.6.2

$- 1$ から $6$ を引きます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.8

${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$2 (- \frac{{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.9

式を簡約します。

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ステップ 4.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.9.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

ステップ 4.10

$\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.11

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.12.1

$2$ を $6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.14

総和則では、 $5 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.15

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.17

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.18

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + 0)$

ステップ 4.19

分数をまとめます。

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ステップ 4.19.1

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x)$

ステップ 4.19.2

$10$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

ステップ 4.19.3

$- 10$ と $\frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

ステップ 4.19.4

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.19.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

微分積分 例

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