微分積分例

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

ステップ 1

$\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ を $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

ステップ 3

$u_{1} = 2 + x^{4}$ とします。次に $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = 2 + x^{4}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2 + x^{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $2 + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.1.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.1.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 x^{3}$

ステップ 3.1.5

$0$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3}$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

ステップ 4.2

$4$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = \ln (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ すると、 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = \ln (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\ln (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

ステップ 7.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}}$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 8

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 9.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 + x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$

微分積分 例

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