微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ を $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ を $x^{2} (x + 3)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

ステップ 1.1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

ステップ 1.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

ステップ 1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.7

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.9

分数をまとめます。

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ステップ 1.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.9.4

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.10

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.13

式を簡約します。

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ステップ 1.13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.13.2

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.15

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.17

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.19

指数を足して ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.19.1

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.20

${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.21

$2$ を $x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.22

簡約します。

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ステップ 1.22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.22.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.22.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.22.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.22.3

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 1.22.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.22.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.22.3.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.5.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.5.4

式を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.5.4.2

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

ステップ 2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + 3$ とします。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

ステップ 2.12

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

ステップ 2.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

ステップ 2.14

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 3}$

ステップ 2.15

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

ステップ 2.15.2

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

ステップ 2.15.3

$\frac{3}{2}$ に $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

ステップ 2.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

ステップ 2.16.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

ステップ 2.16.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.1

$3$ を $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.1.1

$3$ を $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.1.2

$3$ を $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.1.3

$3$ を $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.2

$u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.2.2

指数を足して $u_{2}$ に $u_{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.2.2.1

$u_{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.2.2.2

$u_{2}$ に $u_{2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.4.1.1

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.4.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.1.2

簡約します。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.4.4.3

$6$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.5.1

$3$ と $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

ステップ 2.16.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

ステップ 2.16.5.3

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

ステップ 2.16.5.4

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 x + 6}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

ステップ 2.16.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.6.1

$2$ を $2 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.6.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

ステップ 2.16.6.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

ステップ 2.16.6.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 3))}$

ステップ 2.16.6.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.6.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

ステップ 2.16.6.2.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 ((x + 3) {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.16.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.16.6.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.16.6.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 2.16.6.2.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ を $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ を $x^{2} (x + 3)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

ステップ 4.1.1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

ステップ 4.1.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

ステップ 4.1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

ステップ 4.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.3

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.7

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.9.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.9.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.9.4

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.10

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.13.2

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 4.1.15

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.17

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.19

指数を足して ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.19.1

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.20

${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.21

$2$ を $x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.22.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.22.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.22.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.22.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.22.3

$3$ を $3 x + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.22.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.22.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.22.3.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$3 (x + 2) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$3 (x + 2) = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$3 (x + 2) = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$x + 2 = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

ステップ 6.2

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 3) = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.6

$4$ に $3$ をかけます。

$4 x + 12 = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x + 12 = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$4 x = - 12$

ステップ 6.3.3.2

$4 x = - 12$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$4 x = - 12$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

ステップ 6.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 12}{4}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.2.3.1

$- 12$ を $4$ で割ります。

$x = - 3$

ステップ 6.4

$\sqrt{x + 3}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 < 0$

ステップ 6.5

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$x < - 3$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 2, - 3$

ステップ 8

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{3 ((- 2) + 4)}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$2$ を $3 ((- 2) + 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

$2$ を $4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- 1 + 2)}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.4

分母を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5

簡約します。

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ステップ 9.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 10

$x = - 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極小値です

ステップ 11

$x = - 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 11.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

ステップ 11.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 12}$

ステップ 11.2.4

$- 8$ と $12$ をたし算します。

$f (- 2) = \sqrt{4}$

ステップ 11.2.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2) = 2$

ステップ 11.2.7

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 {((- 3) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

式を簡約します。

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ステップ 13.1.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 13.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 13.3

式を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0}$

ステップ 13.3.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

ステップ 13.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

ステップ 13.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例