微分積分例

$- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

ステップ 1

$- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- \frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{5} x^{6}$ の微分係数は $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$- 6$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$- 6$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.6

$\frac{- 12}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- \frac{12}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{12 x^{5}}{5}$ の微分係数は $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$- 5$ と $\frac{12}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.5

$- 5$ に $12$ をかけます。

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.6

$\frac{- 60}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7

$- 60$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.7.1

$5$ を $- 60 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2.4

$- 12 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.2.3.3

$3$ に $20$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ です。

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

ステップ 2.2.2.3

$12 u$ を $- 12 u^{2} + 60 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$12 u$ を $- 12 u^{2}$ で因数分解します。

$12 u (- u) + 60 u = 0$

ステップ 2.2.2.3.2

$12 u$ を $60 u$ で因数分解します。

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

ステップ 2.2.2.3.3

$12 u$ を $12 u (- u) + 12 u (5)$ で因数分解します。

$12 u (- u + 5) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.2.5

$- x^{2} + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$- x^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について $- x^{2} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- x^{2} = - 5$

ステップ 2.2.5.2.2

$- x^{2} = - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.1

$- x^{2} = - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.3.1

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 5$

ステップ 2.2.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{5}$

ステップ 2.2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 2.2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 2.2.6

最終解は $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{5})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f'' (- 5) = - 12 {(- 5)}^{4} + 60 {(- 5)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 5$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 5) = - 12 \cdot 625 + 60 {(- 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 12$ に $625$ をかけます。

$f'' (- 5) = - 7500 + 60 {(- 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 5) = - 7500 + 60 \cdot 25$

ステップ 5.2.1.4

$60$ に $25$ をかけます。

$f'' (- 5) = - 7500 + 1500$

ステップ 5.2.2

$- 7500$ と $1500$ をたし算します。

$f'' (- 5) = - 6000$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6000$ です。

$- 6000$

ステップ 5.3

$f'' (- 5)$ が負なので、区間 $(- \infty, - \sqrt{5})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \sqrt{5})$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- \sqrt{5}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = - 12 {(- 1)}^{4} + 60 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1) = - 12 \cdot 1 + 60 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 12 + 60 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = - 12 + 60 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$60$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 12 + 60$

ステップ 6.2.2

$- 12$ と $60$ をたし算します。

$f'' (- 1) = 48$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 6.3

$f'' (- 1)$ が正なので、区間 $(- \sqrt{5}, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \sqrt{5}, 0)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{5})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{4} + 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - 12 + 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = - 12 + 60 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.4

$60$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - 12 + 60$

ステップ 7.2.2

$- 12$ と $60$ をたし算します。

$f'' (1) = 48$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 7.3

$f'' (1)$ が正なので、区間 $(0, \sqrt{5})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \sqrt{5})$ で上に凹します。

ステップ 8

区間 $(\sqrt{5}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f'' (5) = - 12 {(5)}^{4} + 60 {(5)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$5$ を $4$ 乗します。

$f'' (5) = - 12 \cdot 625 + 60 {(5)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$- 12$ に $625$ をかけます。

$f'' (5) = - 7500 + 60 {(5)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f'' (5) = - 7500 + 60 \cdot 25$

ステップ 8.2.1.4

$60$ に $25$ をかけます。

$f'' (5) = - 7500 + 1500$

ステップ 8.2.2

$- 7500$ と $1500$ をたし算します。

$f'' (5) = - 6000$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 6000$ です。

$- 6000$

ステップ 8.3

$f'' (5)$ が負なので、区間 $(\sqrt{5}, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\sqrt{5}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \sqrt{5})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \sqrt{5}, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \sqrt{5})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\sqrt{5}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例