微分積分例

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 x}$ を ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を $9 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.4

指数を求めます。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

ステップ 4.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.8

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 4.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 4.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 4.11

公分母の分子をまとめます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 4.12

分子を簡約します。

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ステップ 4.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 4.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 4.13

分数の前に負数を移動させます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 4.14

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 4.15

$\cos (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 4.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.17

簡約します。

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ステップ 4.17.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.17.2

項をまとめます。

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ステップ 4.17.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.17.2.2

$3$ と $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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