微分積分例

$f (x) = 2 x + e^{2 x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 x + e^{2 x} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 x d x + \int e^{2 x} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x d x + \int e^{2 x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{2 x} d x$

ステップ 6

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 10

簡約します。

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 2 x + e^{2 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

微分積分 例

微分積分例