微分積分例

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 1.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 6.2

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

ステップ 7

総和則では、 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

ステップ 9

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

ステップ 10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

ステップ 11

$z^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $z^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

ステップ 12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 12.3

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 12.4

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 12.5

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$2$ を $2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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