微分積分例

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

ステップ 1

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ と $\frac{1}{4 x}$ をまとめます。

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

ステップ 4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

ステップ 5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ と $\sin (8 x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (8 x)}{x}$

微分積分 例

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