微分積分例

$- \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 1

$- \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{6} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.6

$- 4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 (2 x)$

ステップ 2.1.4.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.4

$- 3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.5

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.7

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.7.1

$3$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.2.7.2.4

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \cdot 1$

ステップ 2.2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 6 x + 36$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ です。

$- 2 x^{2} + 6 x + 36$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 2$ を $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 2$ を $6 x$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) + 36 = 0$

ステップ 3.2.1.3

$- 2$ を $36$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

ステップ 3.2.1.4

$- 2$ を $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

ステップ 3.2.1.5

$- 2$ を $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (- 18)$ で因数分解します。

$- 2 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

ステップ 3.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 18$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $- 3$ です。

$- 6, 3$

ステップ 3.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 2 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

ステップ 3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.6

最終解は $- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 3$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6$ を $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = - \frac{1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1

$- \frac{1}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.1.2

$6$ を ${(6)}^{4}$ で因数分解します。

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$f (6) = - 1 \cdot 6^{3} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$6$ を $3$ 乗します。

$f (6) = - 1 \cdot 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ に $216$ をかけます。

$f (6) = - 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

$6$ を $3$ 乗します。

$f (6) = - 216 + 216 + 18 {(6)}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.5

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = - 216 + 216 + 18 \cdot 36$

ステップ 4.1.2.1.6

$18$ に $36$ をかけます。

$f (6) = - 216 + 216 + 648$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$- 216$ と $216$ をたし算します。

$f (6) = 0 + 648$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $648$ をたし算します。

$f (6) = 648$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $648$ です。

$648$

ステップ 4.2

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ で代入して $6$ 求めた点は、 $(6, 648)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(6, 648)$

ステップ 4.3

$- 3$ を $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{4} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- 3) = \frac{- 1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.2.5

式を書き換えます。

$f (- 3) = \frac{- 1}{2} \cdot 27 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{- 1}{2}$ と $27$ をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 1$ に $27$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.6

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 {(- 3)}^{2}$

ステップ 4.3.2.1.7

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 \cdot 9$

ステップ 4.3.2.1.8

$18$ に $9$ をかけます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 162$

ステップ 4.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 27$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 162$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{- 27}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 162$

ステップ 4.3.2.2.3

$\frac{- 27}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 162$

ステップ 4.3.2.2.4

$162$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1}$

ステップ 4.3.2.2.5

$\frac{162}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.3.2.2.6

$\frac{162}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162 \cdot 2}{2}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 162 \cdot 2}{2}$

ステップ 4.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- 27$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 162 \cdot 2}{2}$

ステップ 4.3.2.4.2

$162$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 324}{2}$

ステップ 4.3.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$- 27$ から $54$ を引きます。

$f (- 3) = \frac{- 81 + 324}{2}$

ステップ 4.3.2.5.2

$- 81$ と $324$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{243}{2}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $\frac{243}{2}$ です。

$\frac{243}{2}$

ステップ 4.4

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, \frac{243}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, \frac{243}{2})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(6, 648), (- 3, \frac{243}{2})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$f'' (- 3.1) = - 2 {(- 3.1)}^{2} + 6 (- 3.1) + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = - 2 \cdot 9.61 + 6 (- 3.1) + 36$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $9.61$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 19.22 + 6 (- 3.1) + 36$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $- 3.1$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 19.22 - 18.6 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 19.22$ から $18.6$ を引きます。

$f'' (- 3.1) = - 37.82 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$- 37.82$ と $36$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = - 1.82$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1.82$ です。

$- 1.82$

ステップ 6.3

$- 3.1$ で二次導関数は $- 1.82$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 3, 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{9}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (- 1) (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - 1 (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.5

$- 1 (\frac{9}{2})$ を $- (\frac{9}{2})$ に書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.6.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{3}{2}) + 36$

ステップ 7.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) + 36$

ステップ 7.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 3 \cdot 3 + 36$

ステップ 7.2.1.7

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 9 + 36$

ステップ 7.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 7.2.2.1

$9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} + 36$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36$

ステップ 7.2.2.3

$\frac{9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + 36$

ステップ 7.2.2.4

$36$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1}$

ステップ 7.2.2.5

$\frac{36}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{36}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 9 \cdot 2 + 36 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$9$ に $2$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 36 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.4.2

$36$ に $2$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 72}{2}$

ステップ 7.2.5

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$- 9$ と $18$ をたし算します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{9 + 72}{2}$

ステップ 7.2.5.2

$9$ と $72$ をたし算します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $\frac{81}{2}$ です。

$\frac{81}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{3}{2}$ で二次導関数は $40.5$ です。これは正の値なので、 $(- 3, 6)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 3, 6)$ で増加

ステップ 8

区間 $(6, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $6.1$ で置換えます。

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{2} + 6 (6.1) + 36$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 37.21 + 6 (6.1) + 36$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $37.21$ をかけます。

$f'' (6.1) = - 74.42 + 6 (6.1) + 36$

ステップ 8.2.1.3

$6$ に $6.1$ をかけます。

$f'' (6.1) = - 74.42 + 36.6 + 36$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$- 74.42$ と $36.6$ をたし算します。

$f'' (6.1) = - 37.82 + 36$

ステップ 8.2.2.2

$- 37.82$ と $36$ をたし算します。

$f'' (6.1) = - 1.82$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 1.82$ です。

$- 1.82$

ステップ 8.3

$6.1$ で二次導関数は $- 1.82$ です。これは負の値なので、 $(6, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(6, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$ です。

$(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例