微分積分例

$x e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

ステップ 3.6

$e^{- \frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

微分積分 例

微分積分例