微分積分例

$y = \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (2 x)$ とします。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (3 \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 3.2

$\cos^{2} (2 x)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.3

$3$ を $\cos^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.4.2

$\cos^{2} (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 4

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 5.4.2

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ の因数を並べ替えます。

$- 2 \cos^{2} (2 x) \sin (2 x)$

微分積分 例

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