微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

ステップ 1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

ステップ 2

$x \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$- \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$- \frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 3.3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

ステップ 3.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 3.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

ステップ 3.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3

共通因数を約分します。

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.4

式を書き換えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

ステップ 3.6.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

ステップ 4.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 0$

ステップ 4.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例