微分積分例

$y = \frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 1 - 2 x^{2}$ および $g (x) = 2 x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 (2 x)) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $2 x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.12.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot - 4 x^{2} x - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cdot - 4 x^{1 + 2} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 4 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x \cdot x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x^{1} x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{1 + 2})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.7

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$- 8 x^{3}$ と $8 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{20 x - 4 x + 0}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2.2

$20 x - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 x - 4 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.3

$20 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例