微分積分例

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 7}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t))}^{2} - 7}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{\sqrt{7}}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3})}^{2} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{7} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $\sqrt{7} \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{\sqrt{7}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.3.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{9 \frac{7 \sec^{2} (t)}{9} - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.2

$7$ を $7 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t)) - 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.3

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.4

$7$ を $7 \sec^{2} (t) + 7 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{7 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.6

$7$ と $\tan^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{3} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{\sqrt{7}}{3}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3} (\tan (t) \sqrt{7})} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.2

$\tan (t)$ と $\frac{\sqrt{7} \sec (t)}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3} \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t))}{3}$ と $\sqrt{7}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{7} \sec (t)) \sqrt{7}}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.4

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.5

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{1 + 1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{7}}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.8

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.8.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7^{1} \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.8.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) (7 \sec (t))}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.9

$7$ を $\tan (t)$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{\frac{7 \cdot \tan (t) \sec (t)}{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.10

分数の逆数を掛け、 $\frac{7 \tan (t) \sec (t)}{3}$ で割ります。

$\int 1 \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.11

$\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

ステップ 2.2.12

$\frac{3}{7 \tan (t) \sec (t)}$ に $\frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{3}$ をかけます。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{7 \tan (t) \sec (t) \cdot 3} d t$

ステップ 2.2.13

$3$ に $7$ をかけます。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{21 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.14.1

$3$ を $21 \tan (t) \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.14.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 (\sqrt{7} \sec (t) \tan (t))}{3 (7 \tan (t) \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.14.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.15

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.15.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sqrt{7} \sec (t) \tan (t)}{7 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.15.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.16

$\tan (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.16.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sqrt{7} \tan (t)}{7 \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.16.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}})$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3 x}{\sqrt{7}}) + C$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{7}}{7} arcsec (\frac{3}{\sqrt{7}} x) + C$

微分積分 例

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