微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.5.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.2.6.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{3} - x^{2} + x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.7

$3 x^{2} - 2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

ステップ 1.3.8

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 2.7

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 3.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

ステップ 4.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

ステップ 4.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (3 - 2 + 1)$

ステップ 4.3

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

ステップ 4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot 2$

ステップ 4.5.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

微分積分例