微分積分例

$- y - 4 x^{2} = 3 y^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- y - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y^{3})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- y - 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y' - 4 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- y' - 8 x$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$- 8 x - y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$3$ に $3$ をかけます。

$9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$9 y^{2} y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 8 x - y' = 9 y^{2} y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $9 y^{2} y'$ を引きます。

$- 8 x - y' - 9 y^{2} y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $8 x$ を足します。

$- y' - 9 y^{2} y' = 8 x$

ステップ 5.3

$y'$ を $- y' - 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 1 - 9 y^{2} y' = 8 x$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- 9 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' \cdot - 1 + y' (- 9 y^{2}) = 8 x$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' \cdot - 1 + y' (- 9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (- 1 - 9 y^{2}) = 8 x$

ステップ 5.4

$y' (- 1 - 9 y^{2}) = 8 x$ の各項を $- 1 - 9 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- 1 - 9 y^{2}) = 8 x$ の各項を $- 1 - 9 y^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (- 1 - 9 y^{2})}{- 1 - 9 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- 1 - 9 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 1 - 9 y^{2})}{- 1 - 9 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{8 x}{- 1 - 9 y^{2}}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{8 x}{- 1 (1) - 9 y^{2}}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- 9 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{8 x}{- 1 (1) - (9 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{8 x}{- 1 (1 + 9 y^{2})}$

ステップ 5.4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{8 x}{1 + 9 y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x}{1 + 9 y^{2}}$

微分積分 例

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