微分積分例

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

ステップ 1

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ を $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ に書き換えます。

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.3

$e^{0}$ を簡約します。

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.4

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.4.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.5

$e^{0}$ を簡約します。

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 4.3.1.6

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

ステップ 4.3.1.6.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

ステップ 4.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 6

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 7

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 9

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 11

$u_{2} = - 2 x$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 11.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 12.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 13

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 15

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 16

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

微分積分 例

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