微分積分例

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.5

$\frac{12}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.6

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.2.6.2.4

$4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $7$ をかけます。

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.4.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 42$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 42$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

ステップ 1.5.2

$4 x^{2} + 14 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{2} + 14 x - 8$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{2} + 14 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [14 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 8 x + 14 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3.3

$14$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 x + 14 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 x + 14 + 0$

ステップ 2.4.2

$8 x + 14$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 x + 14$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{12}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.6

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.2.6.2.4

$4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $7$ をかけます。

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.4.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 42$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 42$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$4 x^{2} + 14 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{2} + 14 x - 8$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{2} + 14 x - 8$ です。

$4 x^{2} + 14 x - 8$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ を $4 x^{2} + 14 x - 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 14 x - 8 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $14 x$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) - 8 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (- 4) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (7 x)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$2$ を $2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} + 7 x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$2 (2 x^{2} + 7 (x) - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$7$ を $- 1$ プラス $8$ に書き換える

$2 (2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 ((2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)) = 0$

ステップ 5.2.2.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((2 x - 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 5.4

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 5.4.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 5.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5.6

最終解は $2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 4$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{2}, - 4$

ステップ 8

$x = \frac{1}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8 (\frac{1}{2}) + 14$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 (4) \frac{1}{2} + 14$

ステップ 9.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 4 \frac{1}{2} + 14$

ステップ 9.1.3

式を書き換えます。

$4 + 14$

ステップ 9.2

$4$ と $14$ をたし算します。

$18$

ステップ 10

$x = \frac{1}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{2}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.2

まとめる。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.5

$4$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.6

$3$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.7

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.7.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 (1)}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.7.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.7.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.8

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{4}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.11

$7$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.12.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 (- 4) (\frac{1}{2}) - 42$

ステップ 11.2.1.12.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2})) - 42$

ステップ 11.2.1.12.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{1}{6}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{7}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{3} - 4 - 42$

ステップ 11.2.2.4

$\frac{7}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 4 - 42$

ステップ 11.2.2.5

$- 4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} - 42$

ステップ 11.2.2.6

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{12}{12} - 42$

ステップ 11.2.2.7

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} - 42$

ステップ 11.2.2.8

$- 42$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1}$

ステップ 11.2.2.9

$\frac{- 42}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{12}{12}$

ステップ 11.2.2.10

$\frac{- 42}{1}$ に $\frac{12}{12}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.2.11

$6 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 6} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.2.12

$2$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.2.13

$4 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.2.14

$3$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 7 \cdot 3 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$7$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.4.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 42 \cdot 12}{12}$

ステップ 11.2.4.3

$- 42$ に $12$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 504}{12}$

ステップ 11.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$2$ と $21$ をたし算します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{23 - 48 - 504}{12}$

ステップ 11.2.5.2

$23$ から $48$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 25 - 504}{12}$

ステップ 11.2.5.3

$- 25$ から $504$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 529}{12}$

ステップ 11.2.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{529}{12}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $- \frac{529}{12}$ です。

$y = - \frac{529}{12}$

ステップ 12

$x = - 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8 (- 4) + 14$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$8$ に $- 4$ をかけます。

$- 32 + 14$

ステップ 13.2

$- 32$ と $14$ をたし算します。

$- 18$

ステップ 14

$x = - 4$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 4$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot - 64 + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2.1.2

$\frac{4}{3} \cdot - 64$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$\frac{4}{3}$ と $- 64$ をまとめます。

$f (- 4) = \frac{4 \cdot - 64}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2.1.2.2

$4$ に $- 64$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{- 256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2.1.4

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 \cdot 16 - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2.1.5

$7$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 - 8 \cdot - 4 - 42$

ステップ 15.2.1.6

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 + 32 - 42$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$112$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} + 32 - 42$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{112}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 32 - 42$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{112}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 32 - 42$

ステップ 15.2.2.4

$32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} - 42$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{32}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 42$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{32}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 42$

ステップ 15.2.2.7

$- 42$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1}$

ステップ 15.2.2.8

$\frac{- 42}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 15.2.2.9

$\frac{- 42}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 4) = \frac{- 256 + 112 \cdot 3 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$112$ に $3$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.2

$32$ に $3$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 42 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.3

$- 42$ に $3$ をかけます。

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 126}{3}$

ステップ 15.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 256$ と $336$ をたし算します。

$f (- 4) = \frac{80 + 96 - 126}{3}$

ステップ 15.2.5.2

$80$ と $96$ をたし算します。

$f (- 4) = \frac{176 - 126}{3}$

ステップ 15.2.5.3

$176$ から $126$ を引きます。

$f (- 4) = \frac{50}{3}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{50}{3}$ です。

$y = \frac{50}{3}$

ステップ 16

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ の極値です。

$(\frac{1}{2}, - \frac{529}{12})$ は極小値です

$(- 4, \frac{50}{3})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例