微分積分例

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $7$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $7$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[5]{7 + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$7$ と $25$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[5]{32} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$32$ を $2^{5}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[5]{2^{5}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $7$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{0}{7 - 7}$

ステップ 1.1.3.3.2

$7$ から $7$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt[5]{x + 25} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x + 25}$ を ${(x + 25)}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ および $g (x) = x + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 25$ とします。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 25$ で置き換えます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.5

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.9.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.9.2

$1$ から $5$ を引きます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{- 4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.12

$\frac{1}{5}$ と ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.13

$\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.8

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

$\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 7} \frac{1}{{(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2.2

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2.3

$x$ が $7$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{4}{5}$ を ${(x + 25)}^{\frac{4}{5}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2.5

$x$ が $7$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2.6

$x$ が $7$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 3

$x$ を $7$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 4.2

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$7$ と $25$ をたし算します。

$\frac{1}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 4.3.2

$32$ を $2^{5}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 4.3.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

ステップ 4.3.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5 \cdot 2^{4}}$

ステップ 4.3.5

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{5 \cdot 16}$

ステップ 4.4

$5$ に $16$ をかけます。

$\frac{1}{80}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{80}$

10進法形式：

$0.0125$

微分積分 例

微分積分例