微分積分例

$g (x) = - x^{4} + 3 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{4} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$g'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$g'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = - 12 x^{2} + 0$

ステップ 2.3.2

$- 12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = - 12 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{4} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} + 3$ です。

$- 4 x^{3} + 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 x^{3} = - 3$

ステップ 5.3

$- 4 x^{3} = - 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 4 x^{3} = - 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{3} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

ステップ 5.5

$\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 5.5.2

$\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.5.3.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.5.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 5.5.3.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.5.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.5.3.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.5.3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.5.3.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 5.5.3.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 5.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.4.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 5.5.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 5.5.4.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 5.5.4.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 5.5.4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 5.5.4.5

指数をまとめます。

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ステップ 5.5.4.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

ステップ 5.5.4.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

ステップ 5.5.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.5.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{6}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

ステップ 5.5.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.5.5.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

ステップ 8

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ に当てはめます。

$- 12 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

${\sqrt[3]{6}}^{2}$ を $\sqrt[3]{6^{2}}$ に書き換えます。

$- 12 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}}$

ステップ 9.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}}$

ステップ 9.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

ステップ 9.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$4 (- 3) \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 3 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$- 3 \sqrt[3]{36}$

ステップ 10

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ で置換えます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ に当てはめます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1.2.1

${\sqrt[3]{6}}^{4}$ を $\sqrt[3]{6^{4}}$ に書き換えます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.2.2

$6$ を $4$ 乗します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.2.3

$1296$ を $6^{3} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 11.2.1.2.3.1

$216$ を $1296$ で因数分解します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.2.3.2

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.4

$6$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

$2$ を $6 \sqrt[3]{6}$ で因数分解します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

ステップ 11.2.1.5

$3$ と $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ をまとめます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$

ステップ 11.2.2

$\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 11.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.2.3.1

$\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 11.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$4$ に $3$ をかけます。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 12 \sqrt[3]{6}}{8}$

ステップ 11.2.5.2

$- 3 \sqrt[3]{6}$ と $12 \sqrt[3]{6}$ をたし算します。

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $\frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$ です。

$y = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

ステップ 12

$g (x) = - x^{4} + 3 x$ の極値です。

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例