微分積分例

$y = \sin (6 x) \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (6 x) \cos^{2} (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (6 x)$ および $g (x) = \cos^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x)$ とします。

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (6 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\sin (6 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.3

$2$ を $\sin (6 x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sin (6 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \sin (6 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

ステップ 3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $6 x$ とします。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 3.6.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 3.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 3.7

微分します。

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ステップ 3.7.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

ステップ 3.7.3

式を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

$6$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) \cdot 6$

ステップ 3.7.3.2

$6$ を $\cos^{2} (x) \cos (6 x)$ の左に移動させます。

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + 6 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (6 x))$

ステップ 3.7.3.3

項を並べ替えます。

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

微分積分 例

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