微分積分例

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 5

$u = 4 x - 6$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x - 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $4 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 8.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

ステップ 10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

ステップ 12.2.2

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

ステップ 12.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

ステップ 12.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

ステップ 12.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

ステップ 12.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $4 x - 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

微分積分 例

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