微分積分例

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.1.2

$- 3$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.4.2

$5$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 3.4.3

$5$ から $3$ を引きます。

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$5 x^{2} + 2$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 5.2

被除数 $5 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{2} + 0 + 5$ の符号をすべて変更します。

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 10.2

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 10.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 11

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$

微分積分 例

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