微分積分例

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 6

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 6.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

ステップ 7.3

$2$ を $\tan^{2} (u)$ の左に移動させます。

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

ステップ 8

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

ステップ 9

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (u)$ を $- 1 + \sec^{2} (u)$ に書き換えます。

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 12

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

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