微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}$

ステップ 1.3.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.3.3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 1.3.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{2 - 2}$

ステップ 1.3.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

ステップ 3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $\sqrt{x} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.7.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

ステップ 3.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

ステップ 3.9

簡約します。

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ステップ 3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 3.9.2

項をまとめます。

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ステップ 3.9.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 3.9.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 4} 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} 1 (2 \sqrt{x})$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} 2 \sqrt{x}$

ステップ 6.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

ステップ 6.3

根号の下に極限を移動させます。

$2 \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 7

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \sqrt{4}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{2^{2}}$

ステップ 8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \cdot 2$

ステップ 8.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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