微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{6 x + 2}{(x + 1) (2 x + 1)} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ を $6 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x) + 2}{(x + 1) (2 x + 1)}$

ステップ 1.1.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

ステップ 1.1.1.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (2 x + 1)$ です。

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.6

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.6.2

$2 (3 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 (3 x + 1) = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.7

分配則を当てはめます。

$2 (3 x) + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$6 x + 2 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.1.1

共通因数を約分します。

$6 x + 2 = \frac{A (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9.1.2

$(A) (2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$6 x + 2 = (A) (2 x + 1) + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9.2

分配則を当てはめます。

$6 x + 2 = A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 x + 2 = 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9.4

$A$ に $1$ をかけます。

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9.5

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.9.5.1

共通因数を約分します。

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.9.5.2

$(B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$6 x + 2 = 2 A x + A + (B) (x + 1)$

ステップ 1.1.9.6

分配則を当てはめます。

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B \cdot 1$

ステップ 1.1.9.7

$B$ に $1$ をかけます。

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B$

ステップ 1.1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.10.1

$A$ を移動させます。

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

ステップ 1.1.10.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

ステップ 1.1.10.3

$A$ を移動させます。

$6 x + 2 = 2 x A + B x + A + B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$6 = 2 A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$6 = 2 A + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $2 A + B = 6$ として書き換えます。

$2 A + B = 6$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $2 A$ を引きます。

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $6 - 2 A$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2 = A + B$ の $B$ のすべての発生を $6 - 2 A$ で置き換えます。

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.2.2

$2 = A + 6 - 2 A$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

括弧を削除します。

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.2.1

$A$ から $2 A$ を引きます。

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3

$2 = - A + 6$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $- A + 6 = 2$ として書き換えます。

$- A + 6 = 2$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- A = 2 - 6$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3.2.2

$2$ から $6$ を引きます。

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3.3

$- A = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.1

$- A = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3.3.2.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

ステップ 1.3.4

各方程式の $A$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$B = 6 - 2 A$ の $A$ のすべての発生を $4$ で置き換えます。

$B = 6 - 2 \cdot 4$

$A = 4$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$6 - 2 \cdot 4$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$B = 6 - 8$

$A = 4$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$6$ から $8$ を引きます。

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - 2, A = 4$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{4}{x + 1} + \frac{- 2}{2 x + 1}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 4

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{1} = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 4.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 4.4

$u_{1} = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 4.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x)$

ステップ 8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 9

$u_{2} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 9.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 9.2

$u_{2} = 2 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 9.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 9.4

$u_{2} = 2 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 9.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 + 1$

ステップ 9.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 9.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 9.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 10.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12.2.2.3

式を書き換えます。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 1}{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

ステップ 14

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ および $1$ で $\ln (| u_{1} |)$ の値を求めます。

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

ステップ 14.2

$3$ および $1$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 14.3

括弧を削除します。

$4 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 15.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$4 \ln (\frac{2}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 16.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$4 \ln (\frac{2}{1}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 16.3

$2$ を $1$ で割ります。

$4 \ln (2) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 16.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{| 1 |})$

ステップ 16.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{1})$

ステップ 16.6

$3$ を $1$ で割ります。

$4 \ln (2) - \ln (3)$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$4 \ln (2) - \ln (3)$

10進法形式：

$1.67397643 \dots$

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例