微分積分例

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.2.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$x - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.5.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} (5 x^{4})$

ステップ 1.5.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$x - 4 x^{3} + 1 - 5 (\frac{1}{4}) x^{4}$

ステップ 1.5.4

$- 5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5}{4} x^{4}$

ステップ 1.5.5

$\frac{- 5}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5 x^{4}}{4}$

ステップ 1.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{5 x^{4}}{4}$

ステップ 1.6

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- \frac{5}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5 x^{4}}{4}$ の微分係数は $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4

$- 4$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.5

$- 4$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.6

$\frac{- 20}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7

$- 20$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.7.1

$4$ を $- 20 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.7.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2.4

$- 5 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + 0$

ステップ 2.4.3

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$

微分積分 例

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