微分積分例

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

ステップ 2

$u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ とします。次に $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 - \cos^{2} (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $3 - \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x)$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.1.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.1.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.1.3.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$0$ と $2 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.4.2

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

ステップ 2.1.4.3

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.1.4.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x)$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

ステップ 3

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 6}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ です。

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

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ステップ 4.1.1

${u_{2}}^{- 5}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

ステップ 4.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${u_{2}}^{- 5}$ を分母に移動させます。

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

ステップ 4.2

簡約します。

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

ステップ 4.3.2

$- 5$ と $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

ステップ 4.3.3

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

ステップ 4.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.2.1

$5$ を $5 {u_{2}}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

ステップ 4.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

ステップ 4.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

ステップ 4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

ステップ 5

$u_{2}$ のすべての発生を $3 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$

微分積分 例

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