微分積分例

$e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

ステップ 1

$e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.2.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{- x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.3.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- x$ とします。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.4.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.4.7

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.4.8

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = - e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.5.2.2

$- e^{- x}$ と $2 e^{- x}$ をたし算します。

$f' (x) = - 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 2.1.5.2.3

$- 2 x e^{- x}$ と $e^{- x} (2 x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.3.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

ステップ 2.1.5.2.3.2

$- 2 x e^{- x}$ と $2 x e^{- x}$ をたし算します。

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

ステップ 2.1.5.2.4

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

ステップ 2.1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

ステップ 2.1.5.4

$- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.2

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 2.2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 2.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.2.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.2.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

ステップ 2.2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

ステップ 2.2.4.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

ステップ 2.2.4.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

ステップ 2.2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

ステップ 2.2.4.4

$e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ です。

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

ステップ 3.2

$e^{- x}$ を $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$e^{- x}$ を $x^{2} e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

ステップ 3.2.2

$e^{- x}$ を $- 2 x e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

ステップ 3.2.3

$e^{- x}$ を $- e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.2.4

$e^{- x}$ を $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ で因数分解します。

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.2.5

$e^{- x}$ を $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 3.4

$e^{- x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{- x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$x^{2} - 2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x^{2} - 2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 3.6

最終解は $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1 + \sqrt{2}$ を $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1 + \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.5

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.7

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.8

${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ に書き換えます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.9.1

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.9.2

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.9.3

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.10.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.1.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.1.3

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.1.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.10.3

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

ステップ 4.1.2.1.11

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.1.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.1.13

分配則を当てはめます。

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$e^{- 1 - \sqrt{2}}$ と $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ をたし算します。

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.2.2

$3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ と $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ をたし算します。

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.2.3

$2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ と $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ をたし算します。

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ です。

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.2

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ で代入して $1 + \sqrt{2}$ 求めた点は、 $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

ステップ 4.3

$1 - \sqrt{2}$ を $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $1 - \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.3.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.7

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.9

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.9.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.10

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.11

${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ を $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ に書き換えます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.12

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.12.1

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.12.2

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.12.3

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.13.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.2

$- \sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.4

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.13.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.4.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.4.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.1.5.5

指数を求めます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.13.3

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

ステップ 4.3.2.1.14

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.1.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.1.16

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.1.16.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.1.17

分配則を当てはめます。

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$e^{- 1 + \sqrt{2}}$ と $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ をたし算します。

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

$3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ と $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ をたし算します。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ から $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ を引きます。

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ です。

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.4

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ で代入して $1 - \sqrt{2}$ 求めた点は、 $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.51421356$ で置換えます。

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.51421356$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $- 0.51421356$ をかけます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2.1.3

$0.26441558$ に $e^{0.51421356}$ をかけます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2.1.4

$- 2$ に $- 0.51421356$ をかけます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ に $- 0.51421356$ をかけます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2.1.6

$1.02842712$ に $e^{0.51421356}$ をかけます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

ステップ 6.2.1.7

$- 1$ に $- 0.51421356$ をかけます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

ステップ 6.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0.44218821$ と $1.71986213$ をたし算します。

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

ステップ 6.2.2.2

$2.16205035$ から $e^{0.51421356}$ を引きます。

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.48972754$ です。

$0.48972754$

ステップ 6.3

$- 0.51421356$ で二次導関数は $0.48972754$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ で増加

ステップ 7

区間 $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.2

$e^{- (1)}$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.8

$- 2$ と $\frac{1}{e^{1}}$ をまとめます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.10

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.11

$2.71828182$ を $1$ 乗します。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.12

$2$ を $2.71828182$ で割ります。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.13

$- 1$ に $0.73575888$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

ステップ 7.2.1.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

ステップ 7.2.1.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

ステップ 7.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

ステップ 7.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

ステップ 7.2.2.2.2

$0$ を $e^{1}$ で割ります。

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

ステップ 7.2.2.2.3

$- 0.73575888$ と $0$ をたし算します。

$f'' (1) = - 0.73575888$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.73575888$ です。

$- 0.73575888$

ステップ 7.3

$1$ で二次導関数は $- 0.73575888$ です。これは負の値なので、 $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ で減少

ステップ 8

区間 $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.51421356$ で置換えます。

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2.51421356$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.2

$- 1$ に $2.51421356$ をかけます。

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.4

$6.32126983$ と $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ をまとめます。

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.5

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.6

$2.71828182$ を $2.51421356$ 乗します。

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.7

$6.32126983$ を $12.35688703$ で割ります。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.8

$- 2$ に $2.51421356$ をかけます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.9

$- 1$ に $2.51421356$ をかけます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.11

$- 5.02842712$ と $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ をまとめます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.12

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.13

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.14

$2.71828182$ を $2.51421356$ 乗します。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.15

$5.02842712$ を $12.35688703$ で割ります。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.16

$- 1$ に $0.40693316$ をかけます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

ステップ 8.2.1.17

$- 1$ に $2.51421356$ をかけます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

ステップ 8.2.1.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

ステップ 8.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.51155843$ から $0.40693316$ を引きます。

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

ステップ 8.2.2.2

$0.10462527$ から $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ を引きます。

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.02369874$ です。

$0.02369874$

ステップ 8.3

$2.51421356$ で二次導関数は $0.02369874$ です。これは正の値なので、 $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例