微分積分例

y^{x y}

$y^{x y}$

ステップ 1

f = y

$f = y$ および

g = x y

$g = x y$ のとき、

\frac{d}{d x} [f^{g}]

$\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は

$f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 2

指数を足して

$y$ に

$y^{x y - 1}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

$y^{x y - 1}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 2.2

$y^{x y - 1}$ に

$y$ をかけます。

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ステップ 2.2.1

$y$ を

$1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 2.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 2.3

$x y - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 2.3.2

$x y$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 3

$y$ は

$x$ について定数なので、

$x$ について

$y$ の微分係数は

$0$ です。

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$x$ に

$0$ をかけます。

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 4.2

$0$ に

$y^{x y}$ をかけます。

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 4.3

$0$ と

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 5

$y$ は

$x$ に対して定数なので、

$x$ に対する

$x y$ の微分係数は

$y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

ステップ 6

$y$ を

$1$ 乗します。

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

ステップ 7

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

ステップ 9

$y^{x y + 1}$ に

$1$ をかけます。

$y^{x y + 1} \ln (y)$

微分積分 例

微分積分例