微分積分例

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 6

$u = 5 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 5 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$5 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

ステップ 6.1.2

微分します。

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ステップ 6.1.2.1

総和則では、 $5 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 6.1.2.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 6.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 6.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 7.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 11.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 11.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 11.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 11.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 13

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 14

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 15

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 16

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 16.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 16.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 16.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 16.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

ステップ 17

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

簡約します。

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

ステップ 18.2

簡約します。

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ステップ 18.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

ステップ 18.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

ステップ 18.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

ステップ 19

$u$ のすべての発生を $5 - 2 x$ で置き換えます。

$- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

ステップ 20

答えは関数 $f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

微分積分 例

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