微分積分例

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$

ステップ 1

$e^{- 3 x} - 4 x + 50$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{- 3 x} - 4 x + 50 d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{- 3 x} d x + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 5

$u = - 3 x$ とします。次に $d u = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = - 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$- 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 5.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - 4 x d x + \int 50 d x$

ステップ 10

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 \int x d x + \int 50 d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 50 d x$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 50 x + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 50 x + C$

ステップ 13.2

簡約します。

$- \frac{e^{u}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$- \frac{e^{- 3 x}}{3} - 2 x^{2} + 50 x + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = e^{- 3 x} - 4 x + 50$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} e^{- 3 x} - 2 x^{2} + 50 x + C$

微分積分 例

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