微分積分例

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

ステップ 1.5.2

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ と $0$ をたし算します。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

ステップ 2.4.2

$- 20 x^{3} + 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ です。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

ステップ 5.2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 5.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.4

$a = - 5$ 、 $b = 12$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.1.2

$- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.1.2.2

$20$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.1.3

$144$ から $40$ を引きます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.1.4

$104$ を $2^{2} \cdot 26$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.4.1

$4$ を $104$ で因数分解します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

ステップ 5.5.3

$\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ を簡約します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

ステップ 5.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.1.2

$- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.1.2.2

$20$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.1.3

$144$ から $40$ を引きます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.1.4

$104$ を $2^{2} \cdot 26$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.4.1

$4$ を $104$ で因数分解します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

ステップ 5.6.3

$\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ を簡約します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

ステップ 5.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

ステップ 5.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.1.2

$- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 5.7.1.2.1

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.1.2.2

$20$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.1.3

$144$ から $40$ を引きます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.1.4

$104$ を $2^{2} \cdot 26$ に書き換えます。

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ステップ 5.7.1.4.1

$4$ を $104$ で因数分解します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

ステップ 5.7.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

ステップ 5.7.3

$\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ を簡約します。

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

ステップ 5.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

ステップ 5.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

ステップ 5.9

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

ステップ 5.10

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 2.2198039$

ステップ 5.11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.11.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

ステップ 5.11.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2.2198039}$

ステップ 5.11.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2.2198039}$

ステップ 5.11.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

ステップ 5.12

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

ステップ 5.13

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.13.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 0.18019609$

ステップ 5.13.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

ステップ 5.13.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.13.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{0.18019609}$

ステップ 5.13.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{0.18019609}$

ステップ 5.13.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

ステップ 5.14

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ の解は $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ です。

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

ステップ 8

$x = \sqrt{2.2198039}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

ステップ 9

各項を簡約します。

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ステップ 9.1

${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ を $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ に書き換えます。

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

ステップ 9.2

$2.2198039$ を $3$ 乗します。

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

ステップ 10

$x = \sqrt{2.2198039}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2.2198039}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \sqrt{2.2198039}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2.2198039}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ を $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 11.2.1.2

$2.2198039$ を $5$ 乗します。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 11.2.1.3

${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ を $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 11.2.1.4

$2.2198039$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ です。

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 12

$x = - \sqrt{2.2198039}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

ステップ 13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

積の法則を $- \sqrt{2.2198039}$ に当てはめます。

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

ステップ 13.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

ステップ 13.3

${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ を $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ に書き換えます。

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

ステップ 13.4

$2.2198039$ を $3$ 乗します。

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

ステップ 13.5

$- 1$ に $- 20$ をかけます。

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

ステップ 13.6

$- 1$ に $24$ をかけます。

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

ステップ 14

$x = - \sqrt{2.2198039}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2.2198039}$ は極小値です

ステップ 15

$x = - \sqrt{2.2198039}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2.2198039}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2.2198039}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

${(- 1)}^{5}$ を移動させます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.2.2

${(- 1)}^{5}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.2.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.3

$- 1$ を $6$ 乗します。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.4

${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.5

${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ を $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.6

$2.2198039$ を $5$ 乗します。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.7

積の法則を $- \sqrt{2.2198039}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.9

${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ を $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.10

$2.2198039$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.11

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

ステップ 15.2.1.12

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 15.2.2

最終的な答えは $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ です。

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

ステップ 16

$x = \sqrt{0.18019609}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

ステップ 17

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ を $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ に書き換えます。

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

ステップ 17.2

$0.18019609$ を $3$ 乗します。

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

ステップ 18

$x = \sqrt{0.18019609}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{0.18019609}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \sqrt{0.18019609}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{0.18019609}$ で置換えます。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ を $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 19.2.1.2

$0.18019609$ を $5$ 乗します。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 19.2.1.3

${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ を $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 19.2.1.4

$0.18019609$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 19.2.2

最終的な答えは $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ です。

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 20

$x = - \sqrt{0.18019609}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

ステップ 21

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

積の法則を $- \sqrt{0.18019609}$ に当てはめます。

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

ステップ 21.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

ステップ 21.3

${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ を $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ に書き換えます。

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

ステップ 21.4

$0.18019609$ を $3$ 乗します。

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

ステップ 21.5

$- 1$ に $- 20$ をかけます。

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

ステップ 21.6

$- 1$ に $24$ をかけます。

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

ステップ 22

$x = - \sqrt{0.18019609}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{0.18019609}$ は極大値です

ステップ 23

$x = - \sqrt{0.18019609}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{0.18019609}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{0.18019609}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.2.1

${(- 1)}^{5}$ を移動させます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.2.2

${(- 1)}^{5}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.2.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.3

$- 1$ を $6$ 乗します。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.4

${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.5

${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ を $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.6

$0.18019609$ を $5$ 乗します。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.7

積の法則を $- \sqrt{0.18019609}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.9

${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ を $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.10

$0.18019609$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.11

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

ステップ 23.2.1.12

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 23.2.2

最終的な答えは $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ です。

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

ステップ 24

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ の極値です。

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ は極大値です

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ は極小値です

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ は極小値です

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ は極大値です

ステップ 25

微分積分 例

微分積分例