微分積分例

$h (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 6 x + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$h'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$h'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x^{2} - 6$ と $0$ をたし算します。

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 6 x + 1$ です。

$4 x^{3} - 6 x + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.30083956, 0.16993844, 1.13090112$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1.30083956, 0.16993844, 1.13090112$

ステップ 8

$x = - 1.30083956$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 1.30083956)}^{2} - 6$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 1.30083956$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 1.69218357 - 6$

ステップ 9.1.2

$12$ に $1.69218357$ をかけます。

$20.30620291 - 6$

ステップ 9.2

$20.30620291$ から $6$ を引きます。

$14.30620291$

ステップ 10

$x = - 1.30083956$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1.30083956$ は極小値です

ステップ 11

$x = - 1.30083956$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 1.30083956$ で置換えます。

$h (- 1.30083956) = {(- 1.30083956)}^{4} - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

括弧を削除します。

$h (- 1.30083956) = {(- 1.30083956)}^{4} - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- 1.30083956$ を $4$ 乗します。

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

ステップ 11.2.2.2

$- 1.30083956$ を $2$ 乗します。

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 3 \cdot 1.69218357 - 1.30083956$

ステップ 11.2.2.3

$- 3$ に $1.69218357$ をかけます。

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 5.07655072 - 1.30083956$

ステップ 11.2.3

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$2.86348525$ から $5.07655072$ を引きます。

$h (- 1.30083956) = - 2.21306547 - 1.30083956$

ステップ 11.2.3.2

$- 2.21306547$ から $1.30083956$ を引きます。

$h (- 1.30083956) = - 3.51390503$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $- 3.51390503$ です。

$y = - 3.51390503$

ステップ 12

$x = 0.16993844$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0.16993844)}^{2} - 6$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$0.16993844$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 0.02887907 - 6$

ステップ 13.1.2

$12$ に $0.02887907$ をかけます。

$0.34654889 - 6$

ステップ 13.2

$0.34654889$ から $6$ を引きます。

$- 5.6534511$

ステップ 14

$x = 0.16993844$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0.16993844$ は極大値です

ステップ 15

$x = 0.16993844$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $0.16993844$ で置換えます。

$h (0.16993844) = {(0.16993844)}^{4} - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

括弧を削除します。

$h (0.16993844) = {(0.16993844)}^{4} - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

ステップ 15.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$0.16993844$ を $4$ 乗します。

$h (0.16993844) = 0.000834 - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

ステップ 15.2.2.2

$0.16993844$ を $2$ 乗します。

$h (0.16993844) = 0.000834 - 3 \cdot 0.02887907 + 0.16993844$

ステップ 15.2.2.3

$- 3$ に $0.02887907$ をかけます。

$h (0.16993844) = 0.000834 - 0.08663722 + 0.16993844$

ステップ 15.2.3

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$0.000834$ から $0.08663722$ を引きます。

$h (0.16993844) = - 0.08580322 + 0.16993844$

ステップ 15.2.3.2

$- 0.08580322$ と $0.16993844$ をたし算します。

$h (0.16993844) = 0.08413522$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $0.08413522$ です。

$y = 0.08413522$

ステップ 16

$x = 1.13090112$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(1.13090112)}^{2} - 6$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$1.13090112$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 1.27893734 - 6$

ステップ 17.1.2

$12$ に $1.27893734$ をかけます。

$15.34724819 - 6$

ステップ 17.2

$15.34724819$ から $6$ を引きます。

$9.34724819$

ステップ 18

$x = 1.13090112$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1.13090112$ は極小値です

ステップ 19

$x = 1.13090112$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $1.13090112$ で置換えます。

$h (1.13090112) = {(1.13090112)}^{4} - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

括弧を削除します。

$h (1.13090112) = {(1.13090112)}^{4} - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

ステップ 19.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$1.13090112$ を $4$ 乗します。

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

ステップ 19.2.2.2

$1.13090112$ を $2$ 乗します。

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3 \cdot 1.27893734 + 1.13090112$

ステップ 19.2.2.3

$- 3$ に $1.27893734$ をかけます。

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3.83681204 + 1.13090112$

ステップ 19.2.3

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1

$1.63568074$ から $3.83681204$ を引きます。

$h (1.13090112) = - 2.2011313 + 1.13090112$

ステップ 19.2.3.2

$- 2.2011313$ と $1.13090112$ をたし算します。

$h (1.13090112) = - 1.07023018$

ステップ 19.2.4

最終的な答えは $- 1.07023018$ です。

$y = - 1.07023018$

ステップ 20

$h (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x$ の極値です。

$(- 1.30083956, - 3.51390503)$ は極小値です

$(0.16993844, 0.08413522)$ は極大値です

$(1.13090112, - 1.07023018)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例