微分積分例

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

ステップ 4

$u = x + 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 5.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ を $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

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