微分積分例

$\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}]$ を $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{5}$ を ${(x^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$x^{4}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{4} x}}]$

ステップ 1.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

ステップ 3.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}]$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}$ を ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x + x^{\frac{5}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + x^{\frac{5}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $x + x^{\frac{5}{2}}$ で置き換えます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 5.3.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 10.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 11

総和則では、 $x + x^{\frac{5}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 13

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

ステップ 14

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 15

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 17

分子を簡約します。

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ステップ 17.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

ステップ 17.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 18

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 19

簡約します。

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ステップ 19.1

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$ の因数を並べ替えます。

$(1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.2

$1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.3

分子を簡約します。

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ステップ 19.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 19.5

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

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ステップ 19.5.1

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2 (3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 19.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{6 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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