微分積分例

$\frac{x}{2 x - 1}$

ステップ 1

$\frac{x}{2 x - 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{2 x - 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x}{2 x - 1} d x$

ステップ 4

$x$ を $2 x - 1$ で割ります。

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ステップ 4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 4.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

ステップ 4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - \frac{1}{2}$ の符号をすべて変更します。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

ステップ 4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 8

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 8.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 8.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 8.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 9.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 12

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \frac{x}{2 x - 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

微分積分 例

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