微分積分例

${(1 + \sin (x))}^{2}$

ステップ 1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

ステップ 4

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ に書き換えます。

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.5

$\sin (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.7

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.8

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

ステップ 4.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 4.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

ステップ 4.13

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 8

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 9

半角公式を利用して $\sin^{2} (x)$ を $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

ステップ 11

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

ステップ 13

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 14

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 14.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 14.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 14.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 14.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 15

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

ステップ 17

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 18

簡約します。

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 19

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

$\sin (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 20.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 20.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 20.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 20.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 22

答えは関数 $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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